Las normas DIN (Deutsche Industrie Norm: norma de la industria alemana) dicen un poco del carácter alemán: lo abarcan todo.

La norma conque estamos probablemente más familiarizados sea la que estipula el tamaño de los papeles, en particular el DIN A4. Las medidas de una hoja A4 parecen un poco tomadas de los pelos: 297 * 210 milímetros. Podrían haber establecido algo más simple, no?

El caso es que aunque los valores concretos resultan un poco caprichosos, la definición y razón de ser de los tamaños de toda la serie de papeles DIN A es simple. Cualquier hoja de la serie, si se corta a la mitad, nos da un par de hojas del tamaño siguiente. Así, si cortamos una A3 al medio, tenemos dos A4, si cortamos una A4, tendremos dos A5 y, lo más importante, todas ellas tienen la misma proporción de alto a ancho.

La serie comienza con la A0 que se define como una hoja que además de cumplir con la condición anterior, tenga una superficie de 1 metro cuadrado. Un cuadrado de un metro de lado tiene una superficie de 1 metro cuadrado, pero si lo plegamos al medio, tendremos una hoja de 1 metro de alto por medio de ancho, que de ninguna manera son las proporciones de la hoja original. Si la plegamos una vez más, tendríamos una hoja cuadrada de medio metro de lado, pero estaríamos siempre alternando entre hojas cuadradas y rectangulares.

Expresado algebraicamente, si llamamos L al largo y A al ancho de la hoja, lo que pedimos es que:

L / A = A / (L/2)

o sea, que la proporción entre el largo y el ancho sea igual a la proporción entre el ancho y la mitad del largo, que es lo que queda una vez plegada la hoja. Esto se cumple para un largo igual al ancho multiplicado por la raíz de dos. Como la raíz de dos es un número irracional, o sea, que tiene infinitos decimales, no hay forma de buscar ‘números redondos’ para el tamaño de la hoja. Aún si hubiéramos querido hacer la A4 de, digamos, 20cm de ancho, el largo habría resultado de 28,2843….. e incontables decimales más. O sea, la cosa no tenía remedio por más que le buscáramos la vuelta por un lado, se nos arruina por el otro.

El largo de cualquier hoja, en metros, se obtiene de la fórmula:

L(n) = sqrt(sqrt(1 / (2 ^ (2*n-1))))

L(n) representa el Largo de la hoja de tamaño An. El símbolo ^ representa exponenciación y sqrt() la función raíz cuadrada. Dos veces la raíz cuadrada es lo mismo que la raíz cuarta, pero la mayoría de las calculadoras tiene raíz cuadrada pero no raíces de otros valores. Muchos lenguajes de programación tomarán esta expresión tal cual. El ancho es:

A(n) = L(n) / sqrt(2)

Para una hoja A4, o sea, n = 4, L(4) vale 0,2973016m y A(4) vale 0,2102239m los cuales, redondeando a milímetros, nos dan los bastante poco memorables 297mm * 210mm de la hoja A4 normal.